Folytatásos könyvek a bábeli könyvtárban

A minap újraolvastam Borges Bábeli könyvtárát, és egy pillanatra meglódult az agyam. Az alábbi gondolatmenetet főleg a nem progmatos olvasóimnak szánom. A progmatosoknak ez spanyolviasz :)

Az jutott ugyanis eszembe, hogy mi van a 410 oldalnál hosszabb könyvekkel, ezek talán hiányzonának a Teljes Könyvtárból? Természetesen nem, hiszen folytatásos kiadásuk könnyen szerepelhet a kínálatban. Így viszont látszólagos ellentmondásra jutunk: a Könyvtár nyilvánvalóan véges számosságú könyve ezek szerint a megszámlálhatóan végtelen számosságú összes könyvet tartalmazná, mindegyiket véges számú folytatásokra osztva?

Az ellentmondás feloldását az adja, ha megvizsgáljuk, mi a helyzet az egy sorozatba tartozó kötetek sorrendjével, mint információval. Tegyük fel például, hogy minden kötet így kezdődik:

Kellően hosszú könyv esetén azonban (és mivel az összes könyvet tárolni akarjuk, lesz közte ilyen hosszú könyv is) a sorszám leírása önmagában kitölti mind a 410 oldalt. Bármilyen kódolást is használunk a sorszám leírására, mivel egy könyvben kb. 410∙80∙40 betű van, ha azt akarjuk, hogy a sorszám után még egy tartalmi betű is elférjen, az első kötettől legfeljebb a 25^{410∙80∙40-1}+1. kötetig sorszámozhatjuk folyamatosan a könyveket. És akkor ebben még nem is hagytunk helyet a sorozat azonosításának.

És ha a sorrendet valahogyan "kívül" tároljuk?

Akkor pont nem állítunk semmit. Ez rögtön látszik, ha rövidebb, mondjuk egyetlen, 0 és a 9 közötti számjegyet tartalmazó könyvekről beszélünk. Ekkor tíz "könyvünk" van, mégis bármilyen nagy természetes szám tizes számrendszerbeli reprezentációja előáll mint "folytatásos regény". Csakhogy ekkor a könyvek gyakorlatilag semmilyen információt nem hordoznak egyetlen számról sem, az információ ugyanis a könyvek sorrendjében van. Az pedig a Könyvtár rendszerén kívül.